歐幾里德之后 ， 笛卡爾發明了解析幾何 ， 牛頓和萊布尼茨發明了微積分 。 兩者之結合使得那個時代的數學和物理如虎添翼 ， 面目一新 。 像羅巴切夫斯基那樣使用傳統的公理方法來研究幾何 ， 顯然要輸人一籌 。 歐拉、克萊洛、蒙日以及高斯等人認識到了這一點 ， 創立并發展了微分幾何 。
微分幾何的先行者、法國數學家亞歷克西斯·克萊洛（Alexis Clairaut ， 1713 - 1763）對空間曲線進行了深入研究 ， 第一次研究了空間曲線的曲率和撓率（當時被他稱之為雙重曲率） 。
什么是曲線的曲率和撓率？我們從圖1a所示的三條平面曲線來認識曲率 。 圖中的三條曲線 ， 就像是三條形狀不同的平地上的高速公路 。

我們首先需要引進曲線的切線 ， 或稱之為“切矢量”的概念 。 切矢量即為 ， 當曲線上兩點無限接近時 ， 它們的連線的極限位置所決定的矢量 。 圖1a所示的公路上標示的箭頭 ， 便是在曲線上各個點切矢量的直觀圖像 。 而曲率是什么呢？曲率表征曲線的彎曲程度 。 比如 ， 圖1a中最上面一條公路是直線 ， 直線不會拐彎 ， 我們說 ， 它的彎曲程度為0 ， 即曲率等于0 。 切矢量旋轉得越快 ， 曲線的彎曲程度也越大 。 所以 ， 數學上就把曲率定義為曲線的切矢量對于弧長的旋轉速度 。
平地上彎彎曲曲的公路可以看作是平面曲線 ， 用“曲率”就可以描述它們 。 如果公路是修建在山區中 ， 它們一邊轉彎一邊還要盤旋向上或者向下 。 這時候 ， 汽車駛過的路徑便不再是平面曲線 ， 而是空間曲線了 。 對于山間的公路 ， 如圖1b所示 ， 我們除了可以看到其彎曲的程度之外 ， 還能觀察到公路往上（或者向下）繞行的快慢 。 我們將這個描述繞行快慢的幾何量叫做“撓率” 。
一條空間曲線的曲率和撓率在空間的變化規律完全決定了這條曲線 。
從上面對空間曲線的研究 ， 可以看出微分幾何的方法比歐氏幾何公理式的方法要強有力多了 。 與曲線類似 ， 微分幾何也能用以研究曲面 ， 曲率和撓率的概念 ， 也能推廣到曲面上 ， 去定義復雜得多的曲率張量 。



曲面的形狀變幻無窮 ， 按照我們感興趣的性質 ， 可以將其分為兩大類：可展曲面和不可展曲面 。 初看圖2a和圖2b所畫出的曲面 ， 也許你看不出這兩類圖形有何區別 。 它們都是從三維空間看到的形狀 。 不管可展還是不可展 ， 看起來不都是“彎曲的”、“不平的”嗎？然而 ， 如果你再仔細觀察 ， 就會發現 ， 可展曲面的“彎曲”與不可展曲面的“彎曲”有著本質的區別 。 簡單地說 ， 可展曲面在本質上是“平的” ， 它們可以被展開成一個平面 。 比如 ， 將圖2b所示的錐面 ， 用剪刀剪一條線直到頂點 ， 就可以沒有任何皺褶地將它平攤到桌子上 。 柱面也可以沿著與中心線平行的任何直線剪開 ， 成為一個平面 。
但是 ， 圖2a所列舉的不可展曲面 ， 就不能展開成平面了 。 那是真正的、本質上的“不平” 。 一頂做成了近似半個球面的帽子 ， 你無論怎樣剪裁它 ， 都無法將其沒有皺褶地攤成一個平面 。 另一方面 ， 你用一張平平的紙 ， 很容易卷成一個圓筒（柱面） ， 或者是做成一頂錐形的帽子 ， 但你無法做出一個球面來 。 你頂多只能將這張紙剪成許多小紙片 ， 粘成一個近似的球面！
談到這兒 ， 你大概已經基本明白了“可展”和“不可展”的區別到底是什么 。 盡管兩類曲面在嵌入3維空間之后看起來都是彎曲的 ， 但是 ， 可展曲面的內在本質是“平的” ， 不可展曲面的內在本質是“不平” 。 區分這兩類曲面“內在本質”的概念叫做“內蘊性” ， 研究這種性質的幾何叫做內蘊幾何 。

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