高等數學論文_高等數學洛必達法則論文 _生活經驗

求高等數學小論文一篇牛頓、萊布尼茨和微積分微積分的產生是數學上的偉大創造。它從生產技術和理論科學的需要中產生，又反過來廣泛影響著生產技術和科學的發展。如今，微積分已是廣大科學工作者以及技術人員不可缺少的工具。
從微積分成為一門學科來說，是在十七世紀，但是，微分和積分的思想在古代就已經產生了。
公元前三世紀，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學的思想。作為微分學基礎的極限理論來說，早在古代以有比較清楚的論述。比如我國的莊周所著的《莊子》一書的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭” 。三國時期的劉徽在他的割圓術中提到“割之彌細，所失彌?。鈧指?，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣。”這些都是樸素的、也是很典型的極限概念。
到了十七世紀，有許多科學問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產生的因素。歸結起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運動的時候直接出現的，也就是求即時速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用于另一物體上的引力。
十七世紀的許多著名的數學家、天文學家、物理學家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創立做出了貢獻。
十七世紀下半葉，在前人工作的基礎上，英國大科學家牛頓和德國數學家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關的問題聯系在一起，一個是切線問題（微分學的中心問題），一個是求積問題(積分學的中心問題) 。
1605 年 5 月 20 日，在牛頓手寫的一面文件中開始有 “ 流數術 ” 的記載，微積分的誕生不妨以這一天為標志。牛頓關于微積分的著作很多寫于 1665 - 1676 年間，但這些著作發表很遲。他完整地提出微積分是一對互逆運算，并且給出換算的公式，就是后來著名的牛頓-萊而尼茨公式。
牛頓是那個時代的科學巨人。在他之前，已有了許多積累：哥倫布發現新大陸，哥白尼創立日心說，伽利略出版《力學對話》，開普勒發現行星運動規律--航海的需要，礦山的開發，火松制造提出了一系列的力學和數學的問題，微積分在這樣的條件下誕生是必然的。
牛頓于 1642 年出生于一個貧窮的農民家庭，艱苦的成長環境造就了人類歷史上的一位偉大的科學天才，他對物理問題的洞察力和他用數學方法處理物理問題的能力，都是空前卓越的。盡管取得無數成就，他仍保持謙遜的美德。
如果說牛頓從力學導致 “ 流數術 ” ，那萊布尼茨則是從幾何學上考察切線問題得出微分法。他的第一篇論文刊登于 1684 年的《都市期刊》上，這比牛頓公開發表微積分著作早 3 年，這篇文章給一階微分以明確的定義。
萊布尼茨 1646 年生于萊比錫。15 歲進入萊比錫大學攻讀法律，勤奮地學習各門科學，不到 20 歲就熟練地掌握了一般課本上的數學、哲學、神學和法學知識。萊布尼茨對數學有超人的直覺，并且對于設計符號很第三。他的微積分符號 “dx\" 和 ”∫” 已被證明是很發用的。
牛頓和萊布尼茨總結了前人的工作，經過各自獨立的研究，掌握了微分法和積分法，并洞悉了二者之間的聯系。因而將他們兩人并列為微積分的創始人是完全正確的，盡管牛頓的研究比萊布尼茨早 10 年，但論文的發表要晚 3 年，由于彼此都是獨立發現的，曾經長期爭論誰是最早的發明者就毫無意義。牛頓和萊尼茨的晚年就是在這場不幸的爭論中度過的。
牛頓的“流數術”
數學史的另一次飛躍就是研究“形”的變化。17世紀生產力的發展推動了自然科學和技術的發展，不但已有的數學成果得到進一步鞏固、充實和擴大，而且由于實踐的需要，開始研究運動著的物體和變化的量，這樣就獲得了變量的概念，研究變化著的量的一般性和它們之間的依賴關系。到了17世紀下半葉，在前人創造性研究的基礎上，英國大數學家、物理學家艾薩克?牛頓（1642~1727）是從物理學的角度研究微積分的，他為了解決運動問題，創立了一種和物理概念直接聯系的數學理論，即牛頓稱之為“流數術”的理論，這實際上就是微積分理論。牛頓的有關“流數術”的主要著作是《求曲邊形面積》、《運用無窮多項方程的計算法》和《流數術和無窮極數》。這些概念是力不概念的數學反映。牛頓認為任何運動存在于空間，依賴于時間，因而他把時間作為自變量，把和時間有關的固變量作為流量，不僅這樣，他還把幾何圖形――線、角、體，都看作力學位移的結果。因而，一切變量都是流量。
牛頓指出，“流數術”基本上包括三類問題。
（1）已知流量之間的關系，求它們的流數的關系，這相當于微分學。
（2）已知表示流數之間的關系的方程，求相應的流量間的關系。這相當于積分學，牛頓意義下的積分法不僅包括求原函數，還包括解微分方程。
（3）“流數術”應用范圍包括計算曲線的極大值、極小值，求曲線的切線和曲率，求曲線長度及計算曲邊形面積等。
牛頓已完全清楚上述（1）與（2）兩類問題中運算是互逆的運算，于是建立起微分學和積分學之間的聯系。
牛頓在1665年5月20日的一份手稿中提到“流數術”，因而有人把這一天作為誕生微積分的標志。
萊布尼茨使微積分更加簡潔和準確
而德國數學家萊布尼茨（G.W. Leibniz 1646~1716）則是從幾何方面獨立發現了微積分，在牛頓和萊布尼茨之前至少有數十位數學家研究過，他們為微積分的誕生作了開創性貢獻。但是他們這些工作是零碎的，不連貫的，缺乏統一性。萊布尼茨創立微積分的途徑與方法與牛頓是不同的。萊布尼茨是經過研究曲線的切線和曲線包圍的面積，運用分析學方法引進微積分概念、得出運算法則的。牛頓在微積分的應用上更多地結合了運動學，造詣較萊布尼茨高一等，但萊布尼茨的表達形式采用數學符號卻又遠遠優于牛頓一籌，既簡潔又準確地揭示出微積分的實質，強有力地促進了高等數學的發展。
萊布尼茨創造的微積分符號，正像印度――阿拉伯數碼促進了算術與代數發展一樣，促進了微積分學的發展。萊布尼茨是數學史上最杰出的符號創造者之一。
牛頓當時采用的微分和積分符號現在不用了，而萊布尼茨所采用的符號現今仍在使用。萊布尼茨比別人更早更明確地認識到，好的符號能大大節省思維勞動，運用符號的技巧是數學成功的關鍵之一。牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發點是直觀的無窮小量，因此這門學科早期也稱為無窮小分析，這正是現在數學中分析學這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重于從運動學來考慮，萊布尼茨卻是側重于幾何學來考慮的。
牛頓在1671年寫了《流數法和無窮級數》，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變量是由點、線、面的連續運動產生的，否定了以前自己認為的變量是無窮小元素的靜止集合。他把連續變量叫做流動量，把這些流動量的導數叫做流數。牛頓在流數術中所提出的中心問題是：已知連續運動的路徑，求給定時刻的速度（微分法）；已知運動的速度求給定時間內經過的路程(積分法) 。
德國的萊布尼茨是一個博才多學的學者，1684年，他發表了現在世界上認為是最早的微積分文獻，這篇文章有一個很長而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》。就是這樣一片說理也頗含糊的文章，卻有劃時代的意義。他以含有現代的微分符號和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發表了第一篇積分學的文獻。他是歷史上最偉大的符號學者之一，他所創設的微積分符號，遠遠優于牛頓的符號，這對微積分的發展有極大的影響。現在我們使用的微積分通用符號就是當時萊布尼茨精心選用的。
微積分學的創立，極大地推動了數學的發展，過去很多初等數學束手無策的問題，運用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學的非凡威力。
前面已經提到，一門科學的創立決不是某一個人的業績，他必定是經過多少人的努力后，在積累了大量成果的基礎上，最后由某個人或幾個人總結完成的。微積分也是這樣。
不幸的事，由于人們在欣賞微積分的宏偉功效之余，在提出誰是這門學科的創立者的時候，竟然引起了一場悍然大波，造成了歐洲大陸的數學家和英國數學家的長期對立。英國數學在一個時期里閉關鎖國，囿于民族偏見，過于拘泥在牛頓的“流數術”中停步不前，因而數學發展整整落后了一百年。
其實，牛頓和萊布尼茨分別是自己獨立研究，在大體上相近的時間里先后完成的。比較特殊的是牛頓創立微積分要比萊布尼詞早10年左右，但是整是公開發表微積分這一理論，萊布尼茨卻要比牛頓發表早三年。他們的研究各有長處，也都各有短處。那時候，由于民族偏見，關于發明優先權的爭論竟從1699年始延續了一百多年。
應該指出，這是和歷史上任何一項重大理論的完成都要經歷一段時間一樣，牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們在無窮和無窮小量這個問題上，其說不一，十分含糊。牛頓的無窮小量，有時候是零，有時候不是零而是有限的小量；萊布尼茨的也不能自圓其說。這些基礎方面的缺陷，最終導致了第二次數學危機的產生。
直到19世紀初，法國科學學院的科學家以柯西為首，對微積分的理論進行了認真研究，建立了極限理論，后來又經過德國數學家維爾斯特拉斯進一步的嚴格化，使極限理論成為了微積分的堅定基礎。才使微積分進一步的發展開來。
任何新興的、具有無量前途的科學成就都吸引著廣大的科學工作者。在微積分的歷史上也閃爍著這樣的一些明星：瑞士的雅科布·貝努利和他的兄弟約翰·貝努利、歐拉、法國的拉格朗日、……
歐氏幾何也好，上古和中世紀的代數學也好，都是一種常量數學，微積分才是真正的變量數學，是數學中的大革命。微積分是高等數學的主要分支，不只是局限在解決力學中的變速問題，它馳騁在近代和現代科學技術園地里，建立了數不清的豐功偉績。
留給后人的思考
從始創微積分的時間說牛頓比萊布尼茨大約早10年，但從正式公開發表的時間說牛頓卻比萊布尼茨要晚。牛頓系統論述“流數術”的重要著作《流數術和無窮極數》是1671年寫成的，但因1676年倫敦大火殃及印刷廠，致使該書1736年才發表，這比萊布尼茨的論文要晚半個世紀。另外也有書中記載：牛頓于1687年7月，用拉丁文發表了他的巨著《自然哲學的數學原理》，在此文中提出了微積分的思想。他用“0”表示無限小增量，求出瞬時變化率，后來他把變量X稱為流量， X的瞬時變化率稱為流數，整個微積分學稱為“流數學”，事實上，他們二人是各自獨立地建立了微積分。最后還應當指出的是，牛頓的“流數術”，在概念上是不夠清晰的，理論上也不夠嚴密，在運算步驟中具有神秘的色彩，還沒有形成無窮小及極限概念。牛頓和萊布尼茨的特殊功績在于，他們站在更高的角度，分析和綜合了前人的工作，將前人解決各種具體問題的特殊技巧，統一為兩類普通的算法――微分與積分，并發現了微分和積分互為逆運算，建立了所謂的微積分基本定理（現今稱為牛頓――萊布尼茨公式），從而完成了微積分發明中最關鍵的一步，并為其深入發展和廣泛應用鋪平了道路。由于受當時歷史條件的限制，牛頓和萊布尼茨建立的微積分的理論基礎還不十分牢靠，有些概念比較模糊，因此引發了長期關于微積分的邏輯基礎的爭論和探討。經過18、19世紀一大批數學家的努力，特別是在法國數學家柯西首先成功地建立了極限理論之后，以極限的觀點定義了微積分的基本概念，并簡潔而嚴格地證定理即牛頓―萊布尼茨公式，才給微積分建立了一個基本嚴格的完整體系。
不幸的是牛頓和萊布尼茨各自創立了微積分之后，歷史上發生了優先權的爭論，從而使數學家分為兩派，歐洲大陸數學家兩派，歐洲大陸的數學家，尤其是瑞士數學家雅科布?貝努利（1654~1705）和約翰?貝努利（1667~1748）兄弟支持萊布尼茨，而英國數學家捍衛牛頓，兩派爭吵激烈，甚至尖銳到互相敵對、嘲笑。牛頓死后，經過調查核實，事實上，他們各自獨立地創立了微積分。這件事的結果致使英國和歐洲大陸的數學家停止了思想交流，使英國人在數學上落后了一百多年，因為牛頓在《自然哲學的數學原理》中使用的是幾何方法，英國人差不多在一百多年中照舊使用幾何工具，而大陸的數學家繼續使用萊布尼茨的分析方法，并使微積分更加完善，在這100年中英國甚至連大陸通用的微積分都不認識。雖然如此，科學家對待科學謹慎和刻苦的精神還是值得我們學習的。
萊布尼茲
萊布尼茲 (1646-1716)
萊布尼茲是17、18世紀之交德國最重要的數學家、物理學家和哲學家，一個舉世罕見的科學天才。他博覽群書，涉獵百科，對豐富人類的科學知識寶庫做出了不可磨滅的貢獻。
生平事跡
萊布尼茲出生于德國東部萊比錫的一個書香之家，廣泛接觸古希臘羅馬文化，閱讀了許多著名學者的著作，由此而獲得了堅實的文化功底和明確的學術目標。15歲時，他進了萊比錫大學學習法律，還廣泛閱讀了培根、開普勒、伽利略、等人的著作，并對他們的著述進行深入的思考和評價。在聽了教授講授歐幾里德的《幾何原本》的課程后，萊布尼茲對數學產生了濃厚的興趣。17歲時他在耶拿大學學習了短時期的數學，并獲得了哲學碩士學位。
20歲時他發表了第一篇數學論文《論組合的藝術》。這是一篇關于數理邏輯的文章，其基本思想是出于想把理論的真理性論證歸結于一種計算的結果。這篇論文雖不夠成熟，但卻閃耀著創新的智慧和數學才華。
萊布尼茲在阿爾特道夫大學獲得博士學位后便投身外交界。在出訪巴黎時，萊布尼茲深受帕斯卡事跡的鼓舞，決心鉆研高等數學，并研究了笛卡兒、費爾馬、帕斯卡等人的著作。他的興趣已明顯地朝向了數學和自然科學，開始了對無窮小算法的研究，獨立地創立了微積分的基本概念與算法，和牛頓并蒂雙輝共同奠定了微積分學。1700年被選為巴黎科學院院士，促成建立了柏林科學院并任首任院長。
始創微積分
17世紀下半葉，歐洲科學技術迅猛發展，由于生產力的提高和社會各方面的迫切需要，經各國科學家的努力與歷史的積累，建立在函數與極限概念基礎上的微積分理論應運而生了。微積分思想，最早可以追溯到希臘由阿基米德等人提出的計算面積和體積的方法。1665年牛頓創始了微積分，萊布尼茲在1673-1676年間也發表了微積分思想的論著。以前，微分和積分作為兩種數學運算、兩類數學問題，是分別加以研究的。卡瓦列里、巴羅、沃利斯等人得到了一系列求面積（積分）、求切線斜率（導數）的重要結果，但這些結果都是孤立的，不連貫的。只有萊布尼茲和牛頓將積分和微分真正溝通起來，明確地找到了兩者內在的直接聯系：微分和積分是互逆的兩種運算。而這是微積分建立的關鍵所在。只有確立了這一基本關系，才能在此基礎上構建系統的微積分學。并從對各種函數的微分和求積公式中，總結出共同的算法程序，使微積分方法普遍化，發展成用符號表明了微積分基本示的微積分運算法則。
然而關于微積分創立的優先權，數學上曾掀起了一場激烈的爭論。實際上，牛頓在微積分方面的研究雖早于萊布尼茲，但萊布尼茲成果的發表則早于牛頓。萊布尼茲在1684年10月發表的《教師學報》上的論文， “一種求極大極小的奇妙類型的計算” ，在數學史上被認為是最早發表的微積分文獻。牛頓在1687年出版的《自然哲學的數學原理》的第一版和第二版也寫道：“十年前在我和最杰出的幾何學家G、W萊布尼茲的通信中，我表明我已經知道確定極大值和極小值的方法、作切線的方法以及類似的方法，但我在交換的信件中隱瞞了這方法， ……這位最卓越的科學家在回信中寫道，他也發現了一種同樣的方法。他并訴述了他的方法，它與我的方法幾乎沒有什么不同，除了他的措詞和符號而外。”因此，后來人們公認牛頓和萊布尼茲是各自獨立地創建微積分的。牛頓從物理學出發，運用集合方法研究微積分，其應用上更多地結合了運動學，造詣高于萊布尼茲。萊布尼茲則從幾何問題出發，運用分析學方法引進微積分概念、得出運算法則，其數學的嚴密性與系統性是牛頓所不及的。萊布尼茲認識到好的數學符號能節省思維勞動，運用符號的技巧是數學成功的關鍵之一。因此，他發明了一套適用的符號系統，如，引入dx 表示x的微分，∫表示積分， dnx表示n階微分等等。這些符號進一步促進了微積分學的發展。
1713年，萊布尼茲發表了《微積分的歷史和起源》一文，總結了自己創立微積分學的思路，說明了自己成就的獨立性。
萊布尼茲在數學方面的成就是巨大的，他的研究及成果滲透到高等數學的許多領域。他的一系列重要數學理論的提出，為后來的數學理論奠定了基礎。萊布尼茲曾討論過負數和復數的性質，得出復數的對數并不存在，共扼復數的和是實數的結論。在后來的研究中，萊布尼茲證明了自己結論是正確的。他還對線性方程組進行研究，對消元法從理論上進行了探討，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理論。此外，萊布尼茲還創立了符號邏輯學的基本概念，發明了能夠進行加、減、乘、除及開方運算的計算機和二進制，為計算機的現代發展奠定了堅實的基礎。
豐碩的物理學成果
萊布尼茲的物理學成就也是非凡的。他發表了《物理學新假說》，提出了具體運動原理和抽象運動原理，認為運動著的物體，不論多么渺小，他將帶著處于完全靜止狀態的物體的部分一起運動。他還對笛卡兒提出的動量守恒原理進行了認真的探討，提出了能量守恒原理的雛型，并在《教師學報》上發表了“關于笛卡兒和其他人在自然定律方面的顯著錯誤的簡短證明”，提出了運動的量的問題，證明了動量不能作為運動的度量單位，并引入動能概念，第一次認為動能守恒是一個普通的物理原理。他又充分地證明了“永動機是不可能”的觀點。他也反對牛頓的絕對時空觀，認為“沒有物質也就沒有空見，空間本身不是絕對的實在性”，“空間和物質的區別就象時間和運動的區別一樣，可是這些東西雖有區別，卻是不可分離的” 。在光學方面，萊布尼茲也有所建樹，他利用微積分中的求極值方法，推導出了折射定律，并嘗試用求極值的方法解釋光學基本定律。可以說萊布尼茲的物理學研究一直是朝著為物理學建立一個類似歐氏幾何的公理系統的目標前進的。
發明乘法計算機
德國人萊布尼茲發明了乘法計算機，他受中國易經八卦的影響最早提出二進制運算法則。萊布尼茲對帕斯卡的加法機很感興趣。于是，萊布尼茲也開始了對計算機的研究。1672年1月，萊布尼茲搞出了一個木制的機器模型，向英國皇家學會會員們做了演示。但這個模型只能說明原理，不能正常運行。
1674年，最后定型的那臺機器，就是由奧利韋一人裝配而成的。萊布尼茲的這臺乘法機長約1米，寬30厘米，高25厘米。它由不動的計數器和可動的定位機構兩部分組成。整個機器由一套齒輪系統來傳動，它的重要部件是階梯形軸，便于實現簡單的乘除運算。萊布尼茲設計的樣機，先后在巴黎、倫敦展出。由于他在計算設備上的出色成就，被選為英國皇家學會會員。
中西文化交流之倡導者
萊布尼茲對中國的科學、文化和哲學思想十分關注，是最早研究中國文化和中國哲學的德國人。他向耶酥會來華傳教士格里馬爾迪了解到了許多有關中國的情況，包括養蠶紡織、造紙印染、冶金礦產、天文地理、數學文字等等，并將這些資料編輯成冊出版。他認為中西相互之間應建立一種交流認識的新型關系。在《中國近況》一書的緒論中，萊布尼茲寫道：“全人類最偉大的文化和最發達的文明仿佛今天匯集在我們大陸的兩端，即匯集在歐洲和位于地球另一端的東方的歐洲——中國。”“中國這一文明古國與歐洲相比，面積相當，但人口數量則已超過。”“在日常生活以及經驗地應付自然的技能方面，我們是不分伯仲的。我們雙方各自都具備通過相互交流使對方受益的技能。在思考的縝密和理性的思辯方面，顯然我們要略勝一籌”，但“在時間哲學，即在生活與人類實際方面的倫理以及治國學說方面，我們實在是相形見拙了。”在這里，萊布尼茲不僅顯示出了不帶“歐洲中心論”色彩的虛心好學精神，而且為中西文化雙向交流描繪了宏偉的藍圖，極力推動這種交流向縱深發展，是東西方人民相互學習，取長補短，共同繁榮進步。萊布尼茲為促進中西文化交流做出了畢生的努力，產生了廣泛而深遠的影響。
由于萊布尼茨在牛頓完成其前兩段工作之后曾訪問巴黎（1672年）和倫敦（1673年），并且和了解牛頓微積分工作的科學家們通過信，因而被指責為“剽竊者” 。這使他起而為自己的名譽辨護，因而使這場爭論達到了相當激烈的地步。許多數學家都被牽扯了進來，直到使歐洲數學家分成兩派，大陸的數學家們為萊布尼茨辯護，英國的數學家們則捍衛牛頓，以至長期對立，形成學術上的門戶之見，達到雙方停止了學術思想交流的程度，影響了此后一段時間的數學進展。在牛頓和萊布尼茨都已逝世之后進行的調查表明：雖然牛頓的大部分工作是在萊布尼茨之前做的，但萊布尼茨也是微積分主要思想的獨立創立者，他們都同樣地接受了前輩數學家的啟發，同樣地作出了自己的獨立貢獻。在以前的科學史上我們已經看到，在以后的科學史上我們還將一再地看到這種同一發現在大致相同的時間被完全不同甚至互不相識的人們獨立完成的現象。這種現象的大量出現，最好不過地說明：是科學的發展造就了杰出的科學家，而不是杰出科學家的個人天賦決定了科學的發展。
高等數學論文，3000字。老師讓寫我對高等數學的認...我空間有一篇，是我兩年前上大一時寫的，有人轉載過，希望別和你一個班級就OK了！
我空間：
要大一的高數學習論文3000字左右的像這種論文的話，你可以到網上搜索一下相關的范文來參考一下，你可以輸入一些關鍵字關鍵詞來進行查找。
我對高等數學的認識、學習高等數學對我的啟發為題...20分就想要論文~~~~這年頭文字太不值錢了吧~
高等數學極限論文記分子為F（x^2）,
對分子分母分別求導,得到
2x·f（x^2）/（2xF（x）+x^2 ·f（x））
=2f（x^2）/（2F（x）+x·f（x））
=4xf′（x^2）/（3f（x）+xf′（x））
根據Lagrange中值定理,f（x）-f（0）=xf′（e）,其中e介于0與x之間,而f（0）=0,
因此當x趨于0時,f（x）/x=f′（0）,
得到上式=4f′（0）/4f′（0）=1
急求一篇，高等數學在生活中的應用的論文， 800字左右【摘要】高等數學是高職院校的基礎課程之一，本文以案例教學為載體，通過若干具體應用實例闡述了如何培養學生的數學應用能力和實踐能力，從而更好地適應當前高等職業教育的發展，同時也指出了案例實施過程中一些需要注意的問題。

【關鍵詞】案例教學法高等數學高等職業教育應用能力
【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）30-0038-02
中國的高等職業教育于20世紀80年代正式納入國民教育體系，成為中國高等教育事業的重要組成部分。經過若干年不斷探索和總結，高職教育確立了培養生產、建設、管理、服務第一線的高素質、高級技能型專門人才的培養目標，確立了工學結合為其重要人才培養模式，并對課程體系進行了一系列各具特色的改革，取得了一些有價值的成果。
高等數學是一門重要基礎課程，在信息時代大背景下，其數學思想和數學思維方法越來越受到各行各業的重視。在高職教育中，數學課程首先是為專業課程提供必要的數學基?。⒃詿嘶∩嚇嘌τ酶叩仁Ы餼鍪導飾侍獾哪芰退匱爬ɡ唇?，就是“理解概念，聯系實際，深化應用，提高能力” 。然而，在高職教育從無到有，到遍地開花、蓬勃發展的這些年，高等數學的課程改革卻是舉步維艱，特別是在“如何培養學生應用數學、實踐數學的能力和素養”這一點上，探索顯得尤為艱難。有相當一部分學生覺得數學“學了不知道有什么用”“學完就忘”等，因此，如果要切實提高學生學數學的興趣和用數學的能力，就必須想辦法讓學生“動”起來，而案例教學就是動態學習過程的一個良好載體。
案例教學法起源于20世紀初美國哈佛大學，即圍繞一定的培訓目的把實際中真實的情境加以典型化處理，形成供學生思考分析和決斷的案例，通過獨立研究和相互討論的方式，來提高學生分析問題和解決問題的能力的一種方法，在當今世界的教育和培訓中受到重視和廣泛的應用。本文主要討論若干應用實例在高等數學教學中的運用實踐，旨在對如何提高學生的數學應用能力做一些探索。
實例一：割圓術
案例介紹：公元263年，中國古代數學家劉徽在《九章算術注》中給出了一種求圓面積的方法――“割圓術”，先作圓的內接正三角形，記其面積為S1，再作圓的內接正四邊形，記其面積為S2…，一直下去，記圓的內接正n邊形的面積為Sn，于是得到一個數列S1，S2…Sn… 。當n無限增大時，Sn無限接近于圓的面積S 。
案例實施：解決這個案例，學生大概需要分三步實現，流程如下：
案例應用：極限是微積分的基石，該案例的實施過程是極限應用的典型范例，后續無論是切線斜率問題（導數）還是曲邊梯形面積問題（定積分），其推導過程都遵循了上述“建立函數表達式”――“將所求量表示為函數（數列）的極限”――“計算極限”這樣的分析過程。
實例二：蜂巢結構
案例介紹：觀察蜂巢的一個儲藏室，它是中空的正六角形柱，而底部是由三個菱形面組成，交會于底部中心頂點G 。著名天文學家馬拉爾第觀察到了作為蜂房底的3個菱形的鈍角等于109°28′，銳角等于70°32′ 。
馬拉爾第的結果引起法國著名的博物
學家雷奧姆的興趣，他猜測蜜蜂選擇
這兩個角度一定是有原因的，可能就
是要在固定容積下，使表面積為最?。?
即以最少的蜂蠟做出最大容積的儲藏
室。這個猜測被瑞士數學家柯尼格從
理論上做了證明（他的計算結果與實測值僅差兩分）。
案例實施：設正六邊形的邊長為2a，G到平面B1D1F1的距離為x，GC1=2y，實施流程如下：
案例應用：該案例是一個高等數學與數學建模相結合的最優化問題，主要通過“提煉模型”――“模型分析”――“模型求解”這樣三個步驟實現，學生通過該案例的學習，可以體驗將實際問題抽象為數學模型進而求解的一般過程，高等數學應用中很多實際問題，如“最優廣告策略”“最省用料方案”等，都有類似的分析求解過程。
實例三：溶液混合問題
案例介紹：容器內盛有50升的鹽水溶液，其中含有10克鹽。現將每升含鹽2克溶液以每分鐘5升的速度注入容器，并不斷攪拌，使混合液迅速達到均勻，同時混合液以每分鐘3升的速度流出容器，請問任一時刻t容器中溶液的含鹽量是多少？
案例實施：在案例中，鹽水流入的同時也在流出，這是個動態問題，用初等數學的知識無法解決，可以通過建立微分方程來實現。
案例應用：這類溶液混合問題與著名的牛吃草問題（也稱消長問題或牛頓牧場問題）具有同一動態屬性，其某個特定量的動態變化速度是“消”“長”因素共同作用的結果。其他一些工程問題，如“抽水機抽水問題”等，也可以采用這樣的思路求解。
英國數學家牛頓曾說：“在學習科學的時候，題目比規則還有用些。”案例教學通過為學生提供合理的數學教學情境，經過學生主觀自覺的對比、歸納、思考、領悟、分析與決策，讓學生在動手操作過程中綜合運用課程知識，從而提高分析、解決問題的能力，是常規教學的一種有效補充。當然，案例教學也有局限性，如適合教學的案例較少、花費的時間較多、對教師的要求較高、效率有時較低等。特別是在案例的選取上，教師一定要注意把握尺度，案例太復雜，超出學生的能力范圍，會打擊學生的積極性；案例太簡單，不能調動學生的興趣，其理解、思維和分析能力也得不到很好的鍛煉。此外，還要注意案例的生動性與數學知識點相結合。單調呆板的案例對學生來說與純粹的數學知識無異，只有生動的、貼近生活的案例才可能調動學生的興趣，但如果一味地追求案例的生動性而忽視了與數學內容的結合，那么通過案例教學提高學生應用數學的能力也就成了一句空話。
參考文獻
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高等數學洛必達法則論文【高等數學論文_高等數學洛必達法則論文】洛必達(L 'Hopital)法則是在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法。
洛必達法則（定理）
設函數f(x)和F(x)滿足下列條件：
（1）x→a時，lim f(x)=0,lim F(x)=0;
（2）在點a的某去心鄰域內f(x)與F(x)都可導，且F(x)的導數不等于0;
（3）x→a時，lim(f'(x)/F'(x))存在或為無窮大
則 x→a時，lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))

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