離奇的求π方法什么是鈍角 _生活經(jīng)驗(yàn)

竟然有這么多不知道的求π方法！
您知道嗎？我們計(jì)算π ，除了用幾何法、數(shù)列法、連分?jǐn)?shù)法和現(xiàn)代計(jì)算機(jī)計(jì)算，還有一種不用繁雜計(jì)算的稀奇方法——實(shí)驗(yàn)法。
精確性是經(jīng)典數(shù)學(xué)的一大特點(diǎn)，各種精確的計(jì)算公式和無(wú)懈可擊的定理正是這種特點(diǎn)的表現(xiàn)之一。但現(xiàn)實(shí)生活中的許多問(wèn)題，要找到描述它們的精確的數(shù)學(xué)公式卻是十分困難的，甚至難以辦得到。對(duì)于某些具有偶然性的事件更加如此。
1、蒲豐實(shí)驗(yàn)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家蒲豐，在研究偶然事件的規(guī)律時(shí)曾發(fā)現(xiàn)有時(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題無(wú)須進(jìn)行繁雜的運(yùn)算而只需通過(guò)實(shí)驗(yàn)會(huì)有其必然性的結(jié)果。由他設(shè)計(jì)的投針計(jì)算圓周率π的實(shí)驗(yàn)就是應(yīng)用這種方法的一個(gè)著名例子。
蒲豐實(shí)驗(yàn)：在一張紙上，用尺畫一組相距為d的平行線，用一些粗細(xì)均勻長(zhǎng)度小于d的小針扔到畫了線的紙面上，并記錄著小針與平行線相交的次數(shù) 。如果投針的次數(shù)非常之多，則由扔出的次數(shù)，和小針與平行線相交的次數(shù)，通過(guò)某種運(yùn)算，便可求出r的近似值。歷史上曾有不少數(shù)學(xué)家作過(guò)這個(gè)實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如表1 。

文章插圖
表1
由表1可看出，由拋針實(shí)驗(yàn)所得出的結(jié)果與π值的確相近但也看出，拉茲里尼實(shí)驗(yàn)次數(shù)比烏爾夫少，但π的精確度反而高。由此知，不一定實(shí)驗(yàn)次數(shù)越高，精確度就一定越高。
2、拋針實(shí)驗(yàn)與π為什么從一些隨意拋針實(shí)驗(yàn)中，會(huì)與圓周率π發(fā)生聯(lián)系呢？我們先看一個(gè)假想的試驗(yàn)：
找一根鐵絲彎成一個(gè)圓圈，使其直徑等于二平行線間的距離d 。那么，無(wú)論怎樣扔下圓圈，都會(huì)和平行線有兩個(gè)公共點(diǎn)（或者是兩個(gè)交點(diǎn)或者是兩個(gè)切點(diǎn)），如圖1.如果扔n次，則圓圈與平行線相交2n個(gè)點(diǎn)次。如果把圓圈拉直成一根針，

文章插圖
圖1
則針長(zhǎng)EF=πd，這樣，針EF與平行線相交的方式有：4個(gè)交點(diǎn)，3個(gè)交點(diǎn)，2個(gè)交點(diǎn)，1個(gè)交點(diǎn)，0個(gè)交點(diǎn)，如圖27-1.由于這是隨機(jī)過(guò)程的多次重復(fù)試驗(yàn)，總的可能性和它在圓周形式下相同。因而，將針EF扔n次，它與平行線相交乃2n個(gè)點(diǎn)次。經(jīng)過(guò)多次（數(shù)千次）重復(fù)試驗(yàn) ，證實(shí)針EF與平行線相交點(diǎn)的次數(shù)m將隨著試驗(yàn)次數(shù)增大，而逐漸向2n逼近。如果用不同長(zhǎng)度的針l ， l’投擲，它們與平行線相交的次數(shù)與針l，l’的長(zhǎng)度l，l’成正比。
由上可知，用針長(zhǎng)為l的針與針長(zhǎng)為πd的針EF，分別投擲n次，則它們分別與平行線交點(diǎn)的次數(shù)m與2n之比為m/2n=l/πd，即π=2nl/md，如果我們?nèi)=d/2，則有π=n/m=投扔總次數(shù)/碰線總次數(shù)，這個(gè)試驗(yàn)的設(shè)計(jì)和公式，首先是由法國(guó)博物學(xué)碰線總次數(shù)家蒲豐在論文“或然性算術(shù)嘗試”中提出的。
1901年，意大利的拉茲里尼，使用長(zhǎng)為l=0.83d的針，投扔了3408次，求出π的近似值3.1415929，準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后6位。這不但為圓周率的研究開辟了一條新路，并逐漸發(fā)展成為一種新的數(shù)學(xué)方法——統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)法（又叫“蒙特卡羅方法”）。現(xiàn)在這個(gè)工作盡可全部交由計(jì)算機(jī)，在幾秒鐘之內(nèi)便可完成。
3、另一種奇特的求π方法您相信嗎？如果讓一些人，每人任意隨機(jī)地寫出幾個(gè)正整數(shù)對(duì)，然后由寫出的所有正整數(shù)對(duì)中，檢查多少對(duì)正整數(shù)是互質(zhì)的，再由互質(zhì)的對(duì)數(shù)與所有給出的正整數(shù)對(duì)的比，竟可求得π的近似值。這實(shí)在是出人意料，簡(jiǎn)直是超出了常人的想像力，而使人感到震驚！
事實(shí)上，有人就作過(guò)這樣的試驗(yàn) 。大約在1904年，查里斯叫50名學(xué)生每人隨機(jī)地寫出5對(duì)正整數(shù)，在所得的250對(duì)正整數(shù)中，它發(fā)現(xiàn)有154對(duì)是互質(zhì)的，這樣出現(xiàn)的互質(zhì)數(shù)對(duì)的概率便是154/250.如果把這個(gè)數(shù)目說(shuō)成6/x^2，則可算出x=3,12而π=3.14159… ， “奇跡”終于出現(xiàn)了！
要嚴(yán)格證明上述概率是6/x^2，需要用到較高的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且很難找到像蒲豐實(shí)驗(yàn)?zāi)菢忧擅畹脑O(shè)計(jì)與證明。我們只能通過(guò)以下簡(jiǎn)單的例子而得到解釋。
隨機(jī)地寫出兩個(gè)小于1的正數(shù)x與y，它們與數(shù)1一起組成三數(shù)組（x ， y，1）。這樣的三個(gè)數(shù)正好是一個(gè)鈍角三角形三邊的概率是(π-2)/4 。這個(gè)實(shí)驗(yàn)與查里斯實(shí)驗(yàn)的結(jié)構(gòu)是極其相似的。但是它的證明卻無(wú)需用到很多的數(shù)學(xué)知識(shí) 。由于0<x，y<1，所以，以數(shù)對(duì)（x ， y）確定的點(diǎn)必均勻分布在單位正方形內(nèi) 。也就是對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（x，y）出現(xiàn)在正方形中每一處的機(jī)會(huì)都相等。如果符合條件的點(diǎn)（指三數(shù)（x，y，1）能構(gòu)成鈍角三角形的數(shù)對(duì)（x ， y）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)），落在一個(gè)陰影區(qū)域G內(nèi) ，如圖2，根據(jù)機(jī)會(huì)均等原則，所求概率應(yīng)為p=G的面積/正方形面積，我們?cè)賮?lái)考慮以x，y，1為邊長(zhǎng)的鈍角三角形，如圖3，由于0<x，y<1，可知x，y邊所對(duì)的角都是銳角，只有為1的邊所對(duì)的角A為鈍角，在△ABC中，由余弦定理，有1^2=x^2+y^2-2xycosA ，即x^2+y^2=1+2xycosA，由于cosA<0 ，所以2xycosA<0，故得
x^2+y^2<1 （1）
此即△ABC為鈍角三角形的充要條件。

文章插圖
圖2

文章插圖
圖3
而以三數(shù)（x，y，1）為邊構(gòu)成的三角形的必要條件是x+y>1 ，亦即
y>1-x （2）
因滿足不等式（1）的點(diǎn)（x，y）在單位圓內(nèi)部，而滿足不等式（2）的點(diǎn)（x，y），在正方形對(duì)角線AB的上方。故同時(shí)滿足不等式（1）、（2）的點(diǎn)必落在圖4的陰影部分內(nèi) 。

文章插圖
圖4
這樣三數(shù)（x，y，1）能構(gòu)成三角形的概率：

文章插圖
這不是嗎？“π”確實(shí)出現(xiàn)在隨機(jī)寫數(shù)的場(chǎng)合中，這是多么神奇！
【離奇的求π方法什么是鈍角】下面，便可進(jìn)行類似于查里斯的試驗(yàn)了：可叫來(lái)許多的學(xué)生，讓每人隨機(jī)地寫下一對(duì)小于1的正數(shù) ，然后，讓大家檢查一下，看隨機(jī)寫下的兩個(gè)數(shù)x，y與1能否構(gòu)成一個(gè)鈍角三角形（即要同時(shí)滿足二不等式：x+y>1，x^2+y^2<1）。若有m名學(xué)生，寫出的數(shù)對(duì)中能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)（x，y）有n個(gè) 。則有n/m=(π-2)/4，這樣便有π=4n/m+2 。

精品久久久久久久久水蜜桃|丁香花五月|新中文字幕麻豆视频|美女下面粉嫩粉嫩冒白浆高清|日本黄h兄妹h动漫一区二区三区|床片激情免费视频|羞羞动漫在线入口免费阅读

離奇的求π方法 什么是鈍角

離奇的求π方法什么是鈍角