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2012年天津高考數學答案

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2012年天津高考數學答案


2012年普通高等學校招生全國統一考試（天津卷）數學（理工類） 本試卷分為第I卷（選擇題〉和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分 ， 共150分,考試用時120分鐘第I卷一、選擇題：在每小題給出的四個選項中 ， 只有一項是符合題目要求的.（1） 是虛數單位 ， 復數 =（A）（B）（C）（D） 1．B【命題意圖】本試題主要考查了復數的概念以及復數的加、減、乘、除四則運算.【解析】 = = = （2）設  ， 則“ ”是“ 為偶函數”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件2．A【命題意圖】本試題主要考查了三角函數的奇偶性的判定以及充分條件與必要條件的判定.【解析】∵ 為偶函數 ， 反之不成立 ， ∴“ ”是“ 為偶函數”的充分而不必要條件.（3）閱讀右邊的程序框圖 ， 運行相應的程序 ， 當輸入 的值為 時 ， 輸出 的值為（A）（B）（C）（D） 3．C【命題意圖】本試題主要考查了算法框圖的讀取 ， 并能根據已給的算法程序進行運算.【解析】根據圖給的算法程序可知：第一次  ， 第二次  ， 則輸出 .（4）函數 在區間 內的零點個數是（A）0（B）1（C）2（D）34．B【命題意圖】本試題主要考查了函數與方程思想 ， 函數的零點的概念 ， 零點存在定理以及作圖與用圖的數學能力.【解析】解法1：因為  ，   ， 即 且函數 在 內連續不斷 ， 故 在 內的零點個數是1.解法2：設  ，   ， 在同一坐標系中作出兩函數的圖像如圖所示：可知B正確.（5）在 的二項展開式中 ，  的系數為（A）10（B）-10（C）40（D）-405．D【命題意圖】本試題主要考查了二項式定理中的通項公式的運用 ， 并借助于通項公式分析項的系數.【解析】∵ =  ， ∴  ， 即  ， ∴ 的系數為 .（6）在△ABC中 ， 內角  ，   ，  所對的邊分別是  ， 已知  ，   ， 則cosC=（A）（B）（C）（D） 6．A【命題意圖】本試題主要考查了正弦定理、三角函數中的二倍角公式. 考查學生分析、轉化與計算等能力.【解析】∵  ， 由正弦定理得  ， 又∵  ， ∴  ， 所以  ， 易知  ， ∴  ，  = .（7）已知△ABC為等邊三角形 ，   ， 設點P ， Q滿足  ，   ，   ， 若  ， 則 （A）（B）（C）（D） 7．A【命題意圖】本試題以等邊三角形為載體 ， 主要考查了向量加減法的幾何意義 ， 平面向量基本定理 ， 共線向量定理及其數量積的綜合運用.【解析】∵ =  ，  =  ， 又∵  ， 且  ，   ，   ， ∴  ，   ， 所以  ， 解得 .（8）設  ，   ， 若直線 與圓 相切 ， 則 的取值范圍是（A） （B） （C）（D） 8．D【命題意圖】本試題主要考查了直線與圓的位置關系 ， 點到直線的距離公式 ， 重要不等式 ， 一元二次不等式的解法 ， 并借助于直線與圓相切的幾何性質求解的能力.【解析】∵直線 與圓 相切 ， ∴圓心 到直線的距離為  ， 所以  ， 設  ， 則  ， 解得 .二、填空題：本大題共6小題 ， 每小題5分 ， 共30分.（9）某地區有小學150所 ， 中學75所 ， 大學25所. 現采用分層抽樣的方法從這些學校中抽取30所學校對學生進行視力調査 ， 應從小學中抽取 所學校 ， 中學中抽取 所學校.9．18 ， 9【命題意圖】本試題主要考查了統計中的分層抽樣的概念以及樣本獲取的方法與計算.【解析】∵分層抽樣也叫按比例抽樣 ， 由題知學校總數為250所 ， 所以應從小學中抽取  ， 中學中抽取 .（10）―個幾何體的三視圖如圖所示(單位： ) ， 則該幾何體的體積為 .10． 【命題意圖】本試題主要考查了簡單組合體的三視圖的畫法與體積的計算以及空間想象能力.【解析】由三視圖可該幾何體為兩個相切的球上方了一個長方體組成的組合體 ， 所以其體積為： = .（11）已知集合  ， 集合 ,且  ， 則 , .11．  ，  【命題意圖】本試題主要考查了集合的交集的運算及其運算性質 ， 同時考查絕對值不等式與一元二次不等式的解法以及分類討論思想.【解析】∵ = ,又∵  ， 畫數軸可知  ，  .（12）己知拋物線的參數方程為 （ 為參數） ， 其中  ， 焦點為  ， 準線為  ， 過拋物線上一點 作的垂線 ， 垂足為  ， 若  ， 點 的橫坐標是3 ， 則 .12．2【命題意圖】本試題主要考查了參數方程及其參數的幾何意義 ， 拋物線的定義及其幾何性質.【解析】∵ 可得拋物線的標準方程為  ， ∴焦點  ， ∵點 的橫坐標是3 ， 則  ， 所以點  ，  由拋物線得幾何性質得  ， ∵  ， ∴  ， 解得 .（13）如圖 ， 已知AB和AC是圓的兩條弦.過點B作圓的切線與AC的延長線相交于點D,過點C作BD的平行線與圓相交于點E ， 與AB相交于點F ，   ，   ，   ， 則線段 的長為 .13． 【命題意圖】本試題主要考查了平面幾何中直線與圓的位置關系 ， 相交弦定理 ， 切割線定理 ， 相似三角形的概念、判定與性質.【解析】∵  ，   ，   ， 由相交弦定理得  ， 所以  ， 又∵BD∥CE ， ∴  ，  =  ， 設  ， 則  ， 再由切割線定理得  ， 即  ， 解得  ， 故 .（14）已知函數 的圖象與函數 的圖象恰有兩個交點 ， 則實數 的取值范圍是 .14． 【命題意圖】本試題主要考查了函數的圖像及其性質 ， 利用函數圖像確定兩函數的交點 ， 從而確定參數的取值范圍.【解析】∵函數 的圖像直線恒過定點  ， 且  ，   ，   ， ∴  ，   ，   ， 由圖像可知 .三、解答題：本大題共6小題 ， 共80分. 解答應寫出文字說明 ， 證明過程或演算步驟.（15）（本小題滿分13分）已知函數  ，  .(Ⅰ)求函數 的最小正周期；（Ⅱ）求函數 在區間 上的最大值和最小值.【命題意圖】本試題主要考查了【參考答案】【點評】該試題關鍵在于將已知的函數表達式化為 的數學模型 ， 再根據此三角模型的圖像與性質進行解題即可.（16）（本小題滿分13分）現有4個人去參加某娛樂活動 ， 該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇.為增加趣味性 ， 約定：每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己去參加個游戲 ， 擲出點數為1或2的人去參加甲游戲 ， 擲出點數大于2的人去參加乙游戲.（Ⅰ）求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率： （Ⅱ）求這4個人中去參加甲游戲的人數大于去參加乙游戲的人數的概率： （Ⅲ）用 分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數 ， 記  ， 求隨機變量 的分布列與數學期望 .【命題意圖】本試題主要考查了【參考答案】【點評】應用性問題是高考命題的一個重要考點 ， 近年來都通過概率問題來考查 ， 且?？汲Ｐ?對于此類考題 ， 要注意認真審題 ， 從數學與實際生活兩個角度來理解問題的實質,將問題成功轉化為古典概型 ， 獨立事件、互斥事件等概率模型求解 ， 因此對概率型應用性問題 ， 理解是基礎 ， 轉化是關鍵.（17）（本小題滿分13分）如圖 ， 在四棱錐 中 ，  丄平面  ，  丄  ，  丄  ，   ，   ，  .(Ⅰ)證明 丄 ；（Ⅱ）求二面角 的正弦值；（Ⅲ）設E為棱 上的點 ， 滿足異面直線BE與CD所成的角為  ， 求AE的長.【命題意圖】本試題主要考查了【參考答案】【點評】試題從命題的角度來看 ， 整體上題目與我們平時練習的試題相似 ， 但底面是非特殊的四邊形 ， 一直線垂直于底面的四棱錐問題 ， 那么創新的地方就是第三問中點E的位置是不確定的 ， 需要學生根據已知條件進行確定 ， 如此說來就有難度 ， 因此最好使用空間直角坐標系解決該問題為好. （18）(本小題滿分13分）已知{ }是等差數列 ， 其前 項和為  ， { }是等比數列,且 = ，   ，  .(Ⅰ)求數列{ }與{ }的通項公式；(Ⅱ)記  ，   ， 證明 .【命題意圖】本試題主要考查了【參考答案】【點評】該試題命制比較直接 ， 沒有什么隱含的條件 ， 就是等比與等差數列的綜合應用 ， 但方法多樣 ， 第二問可以用錯位相減法求解證明 ， 也可用數學歸納法證明 ， 給學生思維空間留有余地 ， 符合高考命題選拔性的原則. （19）（本小題滿分14分）設橢圓 的左、右頂點分別為A ， B ， 點P在橢圓上且異于A ， B兩點 ，  為坐標原點.（Ⅰ）若直線AP與BP的斜率之積為  ， 求橢圓的離心率；（Ⅱ）若  ， 證明直線 的斜率 滿足 .【命題意圖】本試題主要考查了【參考答案】【點評】 （20）（本小題滿分14分）已知函數 的最小值為  ， 其中 .（Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）若對任意的 ,有 成立 ， 求實數 的最小值；（Ⅲ）證明 .【命題意圖】本試題主要考查了【參考答案】【點評】試題分為三問 ， 題面比較簡單 ， 給出的函數比較常規 ， 因此入手對于同學們來說沒有難度 ， 第二問中 ， 解含參數的不等式時 ， 要注意題中參數的討論所有的限制條件 ， 從而做到不重不漏；第三問中 ， 證明不等式 ， 應借助于導數證不等式的方法進行.

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