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判斷素數的5種方法 素數和質數的區別

生活百科素數

【判斷素數的5種方法 素數和質數的區別】
素數是所有數字的基礎 ， 就如元素周期表中的化學元素一樣 ， 化學元素是組成所有化學物質的基礎 ， 素數包含了數的所有奧秘 ， 所以數學研究者對素數有著特殊的喜愛 。素數 素數也叫質數 ， 指大于1的自然數中 ， 除了1和它本身外不再有其他因數的自然數 ， 比如2、3、5、7、11、13…… 。最初研究素數的是古希臘數學家歐幾里得（約公元前330年—前275年） ， 他在《幾何原本》中用反證法 ， 對“素數有無窮多個”給出了一個經典的證明方法 。證明思路： 假設存在最大的素數P ， 那么將已知所有的素數相乘再加1 ， 得到M： M=2×3×5×7×11×……×P 1 ， 顯然M不可能被已知的任何一個素數整除 ， 所以M有可能是素數 ， 或者存在比P更大但是比M小的素數因子；無論哪種情況 ， 都說明存在比P更大的素數 ， 與假設矛盾 ， 所以素數是無限的 。素數是構成整數的基礎 ， 所有整數都可以用素數來表示 ， 如下：所以素數包含了所有整數的奧秘 ， 整數分解就是破解整數奧秘的途徑之一 ， 因為整數分解后只剩下素數因子 。素數的應用 在現實生活中 ， 數的分解是許多網絡加密的基礎 ， 我們要把兩個已知數相乘很容易 ， 但是要把一個大數分解卻很難 ， 利用整數的這一非對稱特性 ， 密碼學家巧妙地設計了加密和解密的數學原理 ， 比如RSA非對稱加密算法 ， 就是基于大數分解 。換句話說 ， 一旦出現一種算法能很快地分解一個大數 ， 那么RSA加密方法將失效 ， 但是目前為止還沒有出現這樣的高效算法 。素數的未解之謎 數學家圍繞素數發現了許多規律 ， 其中很多還是猜想 ， 有些歷經幾百年也沒有人能夠證明 ， 這些猜想都是數學上的圣杯 ， 誰要是能證明其一 ， 必定名留青史 。（1）哥德巴赫猜想 猜想內容：任何一個大于2的偶數 ， 都可以寫成兩個素數之和 ， 簡稱“1 1=2” 。哥德巴赫于1742年提出 ， 如今已經270多年 ， 最好的成果是我國數學家陳景潤證明的“1 2” ， 也就是：任一充分大的偶數 ， 都可以寫成一個素數與一個不超過兩個素數的乘積之和 。（2）孿生素數猜想 相差2的素數對叫做孿生素數 ， 比如5和7 ， 11和13 ， 該猜想說的是孿生素數有無窮多對 。目前最好的成果 ， 是美籍華人數學家張益唐 ， 在2013年提出一種方法 ， 證明存在無窮多個差小于某個數M的素數對 ， 當時張益唐證明了M=7000萬的情況 ， 一旦完成M=2就解決了孿生素數猜想 ， 目前M已經被縮小到了200多 。（3）ABC猜想 該猜想描述了三個互素整數a、b、c（滿足a b=c）的素因子之間的關系 ， 是數論中一個非常美妙的猜想 ， 也是一個非常強的數學猜想 ， 一旦ABC猜想被證明 ， 那么證明費馬大定理只需要短短五句話 。ABC猜想最新的消息 ， 是2012年日本數學家望月新一宣稱完成了證明 ， 他的證明過程足足有500多頁 ， 其中有很多他自定義的符號和算法 ， 以至于到現在還沒有人能對他的證明給出合理評判 。（4）黎曼猜想 素數擁有無窮多個 ， 但是素數的分布極為不規律 ， 由于素數在整數中的特殊性 ， 數學家對素數始終有著特殊的愛好 ， 也有很多優秀的數學家竭盡一生去研究素數分布規律 。對素數分布規律的第一個突破性進展 ， 是大數學家高斯在1792年（15歲）發現了素數定理 ， 素數定理說的是素數分布與積分函數漸近 ， 但是高斯也無法證明素數定理 ， 使得素數定理成為19世紀最著名的數學難題 ， 直到1896年 ， 素數定理才被其他人證明 。素數定理是素數分布的漸近公式 ， 但是隨著數字的增大 ， 素數定理和素數分布的絕對誤差將會趨向于無窮 ， 所以素數定理的實用性并不大 。直到1859年 ， 高斯的學生黎曼在一篇論文中 ， 擴展了100多年前歐拉發現的一個公式 ， 然后推導出一個素數分布的準確公式π(x) ， 該公式是否成立 ， 取決于一個猜想是否正確——黎曼猜想 。從黎曼猜想中我們可以看出 ， 素數的分布取決于黎曼函數的非平凡零點分布 ， 由于黎曼函數的所有非平凡零點 ， 對每個素數都有貢獻 ， 使得黎曼猜想的證明變得相當艱難 。在2018年9月 ， 89歲高齡的英國數學家邁克爾·阿蒂亞宣稱證明了黎曼猜想 ， 引起全世界的關注 ， 可惜他的證明并不成立 ， 他本人也于2019年1月11日去世 。

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