今天是3月14日 。 而圓周率π就約等于3.14 ， 因此這一天被設為了圓周率日 。 世界各地的數學家和數學愛好者們歡聚一堂 ， 歌頌贊美這個數學世界中的奇跡 。
大家或許會好奇 ， π究竟哪點吸引人了 ， 能夠讓數學家們對它癡迷到如此地步？其實 ， π本身的存在就是一個奇跡：不管一個圓有多大 ， 它的周長和直徑之比總是一個固定的數 ， 它就是3.141592653589793… ， 是一個無限不循環小數 。 我們把這個數就叫做圓周率 ， 用希臘字母π來表示 。 在幾何問題中 ， 圓周率扮演著非常重要的角色；然而更神奇的是 ， 它也馳騁于幾何以外的其它數學領域 。
布豐投針實驗
在地板上畫一系列間距為2厘米的平行線 ， 然后把一根長度為1厘米的針扔在地板上 。 那么 ， 這根針與地板上的線條相交的概率是多少呢？1733年 ， 法國博物學家布豐（Comte de Buffon）第一次提出了這個問題 。 1777年 ， 布豐自己解決了這個問題——這個概率值是1/π 。
這個問題可以用微積分直接求解 ， 也能利用期望值的性質得到一個異常精妙的解答 。 即使我們現在已經能輕易求出它的答案 ， 結論依然相當令人吃驚——在這個概率問題上 ， 竟然也有π的蹤影 。 有人甚至利用投針法 ， 求出過π的近似值來 。
斯特林近似公式
我們把從1開始一直連乘到n的結果稱作“n的階乘” ， 在數學中用n!來表示 。 也就是說：
1733年 ， 數學家亞伯拉罕?棣莫弗（Abraham de Moivre）發現 ， 當n很大的時候 ， 有：
其中c是某個固定常數 。 不過棣莫弗本人并沒有求出這個常數的準確值 。 幾年后 ， 數學家詹姆斯?斯特林（James Stirling）指出 ， 這個常數c等于2π的平方根 。 也就是說：
這個公式就被稱作斯特林近似公式 。
伽馬函數
階乘運算本來是定義在正整數上的 ， 但我們可以很自然地把它擴展到所有的正數上——只需要尋找一條經過所有形如（n, n!）的整格點的曲線就可以了 。 由此定義出來的函數就叫做伽馬函數 ， 用希臘字母Г來表示 。 好了 ， 神奇的事情出現了 。 我們有這樣一個結論：
π再次出現在了與幾何毫無關系的場合中！
平方數的倒數和的極限
1的平方分之一 ， 加上2的平方分之一 ， 加上3的平方分之一 ， 這樣一直加下去 ， 結果會怎樣呢？這是一個非常吸引人的問題 。
從上表中可以看到 ， 越往后加 ， 得數變化幅度就越小 。 可以預料 ， 如果無窮地加下去 ， 得數將會無限接近于某一個固定的數 。 這個數是多少呢？
1735年 ， 大數學家歐拉（Euler）非常漂亮地解決了這一問題 。 神奇的是 ， 這個問題的答案里竟然包含有π：
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