1. 首頁 > 生活百科 > >

逆矩陣怎么求,逆矩陣解方程組六個步驟？

生活百科


逆矩陣怎么求,逆矩陣解方程組六個步驟？


【逆矩陣怎么求,逆矩陣解方程組六個步驟？】先求出系數矩陣（其中元素記為aij）的行列式逆矩陣怎么求：0-2 0-2-2=-6然后求伴隨陣A*（其中元素記為bij）：劃去a11所在行和列，剩余行列式值為0-2=-2；得到伴隨陣b11=-2；同理a12剩余行列式值0-(-2)=2，伴隨陣b21=-2；a13剩余行列式0-2=-2，b31=-2；a21剩余行列式0-(-1)=1，b12=-1；a22剩余行列式0-1=-1，b22=-1；a23剩余行列式-1-1=-2，b32= 2；a31剩余行列式-2-2=-4，b13=-4；a32剩余行列式-2-0=-2，b23= 2；a33剩余行列式2-0=2，b33=2 。所以得到逆矩陣為：(-1/6)[(-2，-1，-4)；(-2，-1，2)；(-2，2，2)]【分號表示下一行】然后方程兩邊同時左乘逆矩陣得到：[x1，x2，x3]=[11/6，-1/6，-2/3]
矩陣的逆等于伴隨矩陣除以矩陣的行列式，所以現在只要求原矩陣的行列式即可 。
A^*=A^(-1)|A|,
兩邊同時取行列式得
|A^*|=|A|^2 （因為是三階矩陣）
又|A^*|=4,|A|>0,所以|A|=2
所以A^(-1)=A^(*)/2,就是伴隨矩陣除以2 。
特殊求法：
（1）當矩陣是大于等于二階時 ：
主對角元素是將原矩陣該元素所在行列去掉再求行列式，非主對角元素是原矩陣該元素的共軛位置的元素去掉所在行列求行列式乘以
，x，y為該元素的共軛位置的元素的行和列的序號，序號從1開始 。主對角元素實際上是非主對角元素的特殊情況，因為x=y，所以
，一直是正數，沒必要考慮主對角元素的符號問題 。
（2）當矩陣的階數等于一階時，伴隨矩陣為一階單位方陣 。
（3）二階矩陣的求法口訣：主對角線元素互換，副對角線元素加負號 。
擴展資料：
若|A|≠0，則矩陣A可逆，且
其中，A*為矩陣A的伴隨矩陣 。
證明：
必要性：當矩陣A可逆，則有AA-1=I。（其中I是單位矩陣）
兩邊取行列式，det（AA-1）=det（I）=1 。
由行列式的性質：det（AA-1）=det（A）det（A-1）=1
則det（A）≠0，（若等于0則上式等于0）
充分性：有伴隨矩陣的定理，有
（其中
是的伴隨矩陣 。）
當det（A）≠0，等式同除以det（A），變成
比較逆矩陣的定義式，可知逆矩陣存在且逆矩陣
在線性代數中逆矩陣是按其伴隨矩陣定義的，若則方陣可逆，且，其中為的伴隨矩陣 。要計算個階的列式才能得到一個伴隨矩陣，在數值計算中因其計算工作量大而不被采用 。通常對做行的初等的效換，在將化成的過程中得到 。在數值計算中，這仍然是一種行之有效的方法 。
由逆矩陣的定義 令，有
化為個方程組
j
是第個分量為1，其余分量為0的維向量 ?；蛴洖椋?。

猜你喜歡